Метод проецирования Примеры позиционных и метрических задач Задание многогранников на эпюре Монжа Построение аксонометрических изображений Изучение начертательной геометрии и черчения Построить собственные и падающие тени


Начертательная геометрия

В инженерной практике мы постоянно встречаемся с геометрическими моделями в виде чертежей, которые и являются средством общения людей в их производственной деятельности. Математическая наука, занимающаяся изучением графических методов отображения пространства, разработкой научных основ построения и исследования геометрических моделей, проецируемых геометрических объектов (точек, линий, поверхностей) и их отображения на плоскости, называется НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ.

З а д а ч а Построить пересечение двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются в точке О (рис.33). Используем секущие сферы, центры которых находятся в точке О.

Каждая сфера-посредник соосна с обоими пересекающимися цилиндрами. Линии пересечения сферы и цилиндра пересекаются между собой и определяют точки, принадлежащие линии пересечения двух цилиндров. Для определения радиусов максимальной и минимальной секущих сфер решаем следующие задачи.

Rmax есть величина, равная расстоянию от О2 до самой далекой характерной точки А2. Для определения Rmin вписываем сферы в каждую из пересекающихся поверхностей R1 и R2 . Минимальным радиусом секущей сферы ( Rmin ) будет больший из двух радиусов вписанных сфер - R2 = Rmin .

 Рис. 33

З а д а ч а 33. Через прямую АВ (А6 , В6 ) (рис.34а) провести плоскость Σ , уклон которой  i = 2:3.

Строим сетку углового масштаба и с его помощью определяем интервал плоскости l (рис. 34 б). Сторона каждого квадрата сетки углового масштаба соответствует  1 м.

Так как прямая АВ является горизонтальной прямой, то она является одной из горизонталей искомой плоскости.

Проводим перпендикулярно горизонтали искомой плоскости направление масштаба уклонов Σi , на котором от заданной прямой откладываем отрезки, равные интервалу l, определенному с помощью углового масштаба. Через полученные отметки проводим ряд горизонталей плоскости Σ.

Рис. 34.

З а д а ч а 34. Через прямую АВ (А5 , В6) провести плоскость Ʃ  , уклон которой i = 2 : 3, масштаб 1 : 200 (рис.35).

Рис. 35.

Строим сетку углового масштаба и определяем интервал плоскости (в масштабе  1:200 сторона каждого квадрата сетки – 0,5 см).

Вычерчиваем вспомогательный конус, вершина которого расположена на заданной прямой в точке, имеющей целую отметку (например В6), а уклон образующей равен уклону искомой плоскости. Плоскость эта должна проходить через заданную прямую АВ и касаться конуса.

Радиус  R основания конуса равен интервалу плоскости L , высота конуса равна 1м.

Из точки В6 чертежа радиусом R = L проводим окружность – горизонталь поверхности конуса, имеющую отметку 5. Касательная АК (А5 , К5) является горизонталью искомой плоскости. Направление масштаба уклона плоскости Ʃi  перпендикулярно горизонтали АК.

З а д а ч а 35. Через заданную на чертеже дугу BCD окружности, лежащую в горизонтальной плоскости, провести коническую поверхность (рис.36). Уклон образующих i = 3 : 4, масштаб 1 : 200.

Из центра дуги проводим нормаль, и от места её пересечения с дугой (внутрь или наружу) откладываем отрезки, равные интервалу конической поверхности. На рис. 36 а представлен фрагмент насыпи, а на рис. 36 б – фрагмент выемки.

 

Рис. 36

З а д а ч а 36. Построить линию пересечения двух плоскостей откоса дна котлована с бровками АВ и ВС. Уклон откосов i = 2:3, масштаб 1 : 200  (рис.37а).

Заданные прямые АВ и ВС являются горизонталями плоскостей откоса. Проводим масштаб уклона Ʃi перпендикулярно АВ с интервалом L , определённым из углового масштаба, Аналогично строим масштаб уклонов Гi. (рис.37б).

Строим горизонтали плоскостей откосов, Через точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками проводим линию пересечения плоскостей откосов BD.

Рис.  37

З а д а ч а. Через прямую l (l1,l2) провести плоскость ∆, перпендикулярную к плоскости Г (m ∩ n). Р е ш е н и е . Если плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Чтобы провести через прямую l (l1, l2) искомую плоскость, надо из какой-либо точки прямой, например, А(А1;А2), провести перпендикуляр к данной плоскости.

По данной фронтальной проекции К2 точки К построить горизонтальную проекцию К1, исходя из условия, что точка К принадлежит грани SАС. Построение точки на поверхности выполняется как построение точки на плоскости грани. 

Построить горизонтальную проекцию линии, принадлежащей поверхности пирамиды

Определить линию пересечения плоскости, заданной масштабом уклонов Ʃi с конической поверхностью, определяемой вершиной S9 и проекцией образующей S9T3

Наряду с этим начертательная геометрия развивает пространственное воображение, что позволяет решать графические задачи из других областей знаний. Основы НГ были обобщены Гаспаром Монжем (1746-1818) - выдающимся французским математиком и инженером, - издавшем в 1799 году книгу под названием "Geometrie descriptive" (начертательная геометрия), базовые понятия которой не претерпели изменений до наших дней.
Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже