Метод проецирования Примеры позиционных и метрических задач Задание многогранников на эпюре Монжа Построение аксонометрических изображений Изучение начертательной геометрии и черчения Построить собственные и падающие тени


Начертательная геометрия

В инженерной практике мы постоянно встречаемся с геометрическими моделями в виде чертежей, которые и являются средством общения людей в их производственной деятельности. Математическая наука, занимающаяся изучением графических методов отображения пространства, разработкой научных основ построения и исследования геометрических моделей, проецируемых геометрических объектов (точек, линий, поверхностей) и их отображения на плоскости, называется НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ.

З а д а ч а . Построить собственные и падающие тени заданных призм (рис. 47).

Определяем грани, находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней. Это – правые, задние и нижние грани призм.

Рис.  47

Построение падающих теней от ребер А/B/ , B/C/ , C/D/ на горизонтальную плоскость выполнено аналогично с построениями в примере 46 (см. рис.47).

Построение падающей тени вертикального отрезка EF аналогично построениям, выполненным при решении задачи 46.

Тень от ребра FK падает на вертикальную (переднюю грань) и горизонтальную (верхняя грань) плоскости. Тень от отрезка FK по вертикальной плоскости будет направлена от точки F/t в точку 1/ (точку пересечения ребра FK  с этой вертикальной плоскостью) на участке F/t 2/t . Тень от отрезка FK на горизонтальной плоскости будет параллельна самому отрезку (2Кt ‖ F/ К/).

Тень от отрезка МК падает на горизонтальную плоскость, и поэтому параллельна самому отрезку.

З а д а ч а 47. По ортогональному чертежу прямой l построить перспективу (рис.48а).

Рис. 48

Выполним предварительные построения на ортогональном чертеже. Задаем основание главного луча S1P1 , проведя S1P1 ^ П/1 (рис.48б). Определяем картинный след прямой (точку пересечения прямой с картиной) - l1 ∩ П/1 = 11 ; 12 ∈ l2 . Для построения точки схода F прямой l проводим через S1 прямую S1F1 ∥ l1  и отмечаем точку F1 = S1F1 ∩ П1 , являющуюся основанием точки схода.

Выполним предварительные построения на картине (рис.48в).

Зададим линии hh и OO , расстояние между которыми равно высоте точки зрения, т.е. расстоянию от S2 до оси X на ортогональном чертеже. На hh , примерно посередине, проведем главную линию картины PP1 ^ hh.

Затем приступаем к построению перспективы прямой. Так как прямая l – горизонтальная прямая, то точка схода прямой (и ее вторичная проекция) лежит на hh , а картинный след (и его вторичная проекция) – на OO. Построим эти точки, отложив PF/ = P1F1 и P1 1/ = P1 11 .

Соединив построенные точки, получаем перспективу прямой l . Так прямая l принадлежит предметной плоскости, то перспектива прямой и ее вторичная проекция совпадают.

З а д а ч а 48. Построить перспективу отрезка АВ (рис.49).


Рис. 49

Перспектива точки строится в пересечении перспектив двух прямых, проходящих через точку в пространстве.

Строим перспективу прямой l , которой принадлежит отрезок АВ (см. предыдущую задачу). Чтобы на построенной прямой зафиксировать положение определенной точки, в пространстве через эту точку проводим вспомогательную прямую и строим перспективу этой прямой. Вспомогательные прямые могут быть любого направления. Для построения перспективы точки В через нее проводим прямую n , перпендикулярную картине ( n1 ^ П/1 ). В перспективе известна точка схода такой прямой – она совпадает с главной точкой картины.

Для построения перспективы точки А через нее проведена прямая m, проходящая через точку стояния (основание точки зрения). Для этой прямой известно направление ее в перспективе – она параллельна главной линии.

З а д а ч а 49. Построить перспективу плана здания (рис.50).

Рис. 50

При анализе формы плоской фигуры замечаем, что она содержит отрезки из пучков параллельных прямых.

Построив точку схода F/ перспективных изображений пучка прямых АВ, ЕМ, КN и их картинные следы (1/1, А/1, К/1), строим перспективу этих прямых.

Заметим, что пучок параллельных прямых АЕ, ВС, КТ, MN не имеет в пределах чертежа доступную точку схода. Поэтому на перспективном изображении положение каждой вершины многоугольника плана определен с помощью вспомогательных прямых, проходящих через точку стояния (см. в задаче 48 построение перспективы точки В).

Определить линию пересечения откоса насыпи с топографической поверхностью в случае, когда их горизонтали не пересекаются

Построить перспективу вертикального отрезка АВ Вначале строим перспективу точки А, принадлежащей предметной плоскости.

Для определения натуральной величины сечения применить любой способ преобразования чертежа. Например, способом плоскопараллельного перемещения проецирующую плоскость ставим в положение плоскости уровня (параллельное горизонтальной плоскости проекций).

При развертывании многогранной поверхности выполняют только вторую и третью операции. Линия пересечения поверхностей наносится на развертку с помощью ее характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях определяют положение образующей и направляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии (образующую и направляющую) на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку линии пересечения поверхностей.

Примеры выполнения заданий контрольной работы

Наряду с этим начертательная геометрия развивает пространственное воображение, что позволяет решать графические задачи из других областей знаний. Основы НГ были обобщены Гаспаром Монжем (1746-1818) - выдающимся французским математиком и инженером, - издавшем в 1799 году книгу под названием "Geometrie descriptive" (начертательная геометрия), базовые понятия которой не претерпели изменений до наших дней.
Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже