Динамика вращательного движения Динамика материальной точки и тела Механические колебания Волны в упругой среде. Акустика Молекулярное строение вещества Молекулярно-кинетическая теория газов Строение атома и молекул

Дифракция излучения и частиц на кристаллической решетке

 

     Атомный фактор рассеяния. Пока мы не рассматривали величины, задающие амплитуду рассеяния от отдельных атомов, называемые атомным фактором рассеяния. Амплитуды рассеяния могут быть либо измерены экпериментально, либо вычислены теоретически. Для такого расчета необходимо рассмотреть атом как заданное функцией распределение заряда, которое может быть мысленно разделено на маленькие элементы объема . Затем следует вычислить сумму по всем этим элементам с учетом величины и разности фаз для волн, рассеянных разными малыми элементами объема (то есть по той же схеме как выше вычисляли структурный фактор базиса), но применяя интегрирование, по формуле:
     Величина в случае дифракции электронов и фотонов зависит от модуля вектора ; как правило она уменьшается при увеличении . Величина больше у атомов с большими номерами, имеющих большую электронную плотность, причем спадает быстрее с ростом для атомов больших размеров, поскольку при росте разные участки атома рассеивают волны не синфазно. Атомы с близкими значениями атомного номера, то есть числа электронов, имеют как правило и близкие значения . Как правило считают, что атомный фактор зависит только от - сферически симметричен. Существуют таблицы, достаточно хорошо характеризующие величины отдельных атомов в зависимости от . Отметим, что такие таблицы как правило не учитывают различия в форме внешних электронных облаков в различных кристаллах, хотя, строго говоря, форма внешних облаков и связанная с ней величина зависят от окружения атома в каждом конкретном кристалле. Это с одной стороны приводит к небольшим ошибкам при вычислении , а с другой - в ряде случаев позволяет, наблюдая дифракцию, изучать перераспределение электронной плотности при образовании различных валентных связей. Величина может слегка изменяться, если энергия фотонов совпадает с одной из разностей энергий атомных уровней, из-за чего происходит также и сильное поглощение фотонов. Существуют таблицы, учитывающие и эти поправки к величине .
     В случае дифракции нейтронов величина складывается из ядерной и магнитной составляющих, связанных с рассеянием нейтронов на ядрах и на магнитных моментах атомов. Ядерная составляющая зависит от структуры атомного ядра и как правило оказывается различной для различных изотопов. Магнитная составляющая зависит от ориентации и величины вектора магнитного момента атома и может быть равной нулю при определенных ориентировках вектора рассеяния и магнитного момента атома. Поэтому дифракцию нейтронов используют для исследования магнитных моментов атомов в кристаллах. Подробнее об этом будет рассказано в главе 5.
     Из формулы (1.27) следует, что представляет собой значение преобразования Фурье в точке обратной решетки задаваемой вектором от функции , задающей электронную плотность в атоме. Эту формулу можно обобщить и на базис элементарной ячейки, и на весь кристалл. Тогда вид дифракционной картины можно предсказывать, вычислив преобразование Фурье от распределения электронной плотности в кристалле. В таком случае по виду преобразования Фурье, полученному по экспериментальной дифракционной картине, можно было бы вычислять функцию и структуру кристалла, однако это сделать не удается, поскольку все известные сегодня экспериментальные методы фиксируют только интенсивность, из которой возможно определить только амплитуду Фурье-образа, а фазу зафиксировать ими не удается. Для построения функции по Фурье образу, в общем случае комплексной функции, необходима как амплитуда, так и фаза Фурье-образа. По этой причине определение структуры кристаллов решается не через вычисление функции , а прямым вычислением дифракционной картины по заданным параметрам структуры кристалла и сопоставлением вычисленной дифракционной картины с наблюдаемой. После чего таким способом проводят последовательное уточнение параметров структуры. Решением этой задачи занимается раздел физики - структурный анализ.
     Упрощенные методы структурного анализа, позволяющие к примеру проводить фазовый анализ (то есть определять, из каких кристаллических решеток состоит данный материал), уже были рассмотрены в томе 5 данного курса, когда рассматривалась дифракция электронов.
     Чаще всего для целей структурного анализа используют дифракцию рентгеновских лучей, поскольку ее легче осуществить с технической точки зрения. Достаточно полно теория и методы рентгеноструктурного анализа изложены в [9-11].
     Вместо рентгеновских лучей для целей структурного и фазового анализа могут быть использованы и потоки нейтронов или электронов с подходящей длиной волны де-Бройля, задаваемой их кинетической энергией. Эти методы, очень похожие на рентгеновские, но более сложные с технической точки зрения, получившие названия нейтронографии и электронографии изложены в [12, 7].
     Электроны, движущиеся в кристалле и являющиеся его "собственностью", также способны к дифракции на кристаллической решетке этого же кристалла. Дифракция этих электронов (при выполнении условий дифракции (1.20)) обуславливает особенности процессов переноса заряда и тепла в кристаллах, а также особенности распределения энергетических уровней электронов в кристаллах, рассмотренные в последующих главах и, в частности, деление веществ на проводники, полупроводники и диэлектрики.
     Задачи
     Задача 1.4. Показать, что вектор обратной решетки , определяемый по формуле (1.14), перпендикулярен векторам и , а модуль вектора равен , где - межплоскостное расстояние для кристаллографических плоскостей, построенных на векторах и .
     Решение. Вспомним, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен с одной стороны их смешанному произведению, а с другой стороны, равен произведению площади основания (то есть модулю векторного произведения векторов и ) на высоту (то есть на искомое межплоскостное расстояние). Из этого соотношения получится значение в точности равное модулю вектора , вычисленного по (1.14).
     Задача 1.5. Показать, что в случае кристалла с кубической решеткой направление перпендикулярно плоскости с индексами Миллера и что расстояние от этой плоскости до начала координат (равное межплоскостному расстоянию в формуле Вульфа-Брегга) может быть вычислено по формуле . Заметим, что для кристаллов других систем эта формула несправедлива и для расчета следует вычислять длину вектора обратной решетки.
     Задача 1.6. Построить векторы обратной решетки для тетрагональной решетки с параметрами и . Построить первую зону Бриллюэна. Определить межплоскостное расстояние для плоскости .
     Задача 1.7. Построить векторы обратной решетки для гексагональной решетки с параметрами и . Построить первую зону Бриллюэна. Определить межплоскостное расстояние для плоскости .
     Задача 1.8. Построить сечение первой зоны Бриллюэна ОЦК решетки плоскостью, проходящей через узлы обратной решетки.

 

К физическим свойствам твердых тел относятся механические, тепловые, электрические, магнитные и оптические свойства. Их изучают, наблюдая, как ведет себя образец при изменении температуры, давления или объема, в условиях механических напряжений, электрических и магнитных полей, температурных градиентов
Математика Примеры решения задач физика