Динамика вращательного движения Динамика материальной точки и тела Механические колебания Волны в упругой среде. Акустика Молекулярное строение вещества Молекулярно-кинетическая теория газов Строение атома и молекул

Физика твердого тела Описание структуры кристаллов

 

 Направление в кристаллической решетке. Направление в кристаллической решетке задают координатами их направляющего вектора в базисных векторах , обычно их заключают в квадратные скобки. При этом знак минуса в случае отрицательности координаты изображают над числом. Наиболее важные направления задаются как правило целыми числами. На рис. 1.2 направление параллельно ребру куба, направление параллельно пространственной диагонали куба, а направления и - диагоналям его нижнего основания. Некоторые направления в силу симметричности решетки, например кубической, физически равноценны, например , , и . Для описания такого семейства направлений используют треугольные скобки .
     Кристаллографические плоскости. В кристалле большое значение имеют особые кристаллографические плоскости, проходящие через узлы кристаллической решетки. Именно кристаллографические плоскости, на которых расположено большое количество узлов кристаллической решетки, важны как для предсказания огранки кристалла, так и при рассмотрении движения частиц в нем (см. разд. 1.3 и главы 3 и 4).
     Кристаллографические плоскости принято описывать индексами Миллера - набором трех целых чисел, заключенных в круглые скобки . Знак минус отрицательного индекса принято ставить над ним. Эти индексы имеют простой геометрический смысл. Если вдоль трех координатных осей, заданных векторами , отложить соответственно отрезки с длинами (см. рис. 1.5), то получившиеся три точки однозначно зададут проходящую через них плоскость . На рис. 1.6 показаны плоскости . Заметим, что параллельно изображенной на рис. 1.5 плоскости можно провести много параллельных плоскостей проходящих через узлы кристаллической решетки, откладывая по осям отрезки с длинами (- целое число) расстояние между такими ближайшими плоскостями называется межплоскостным расстоянием системы плоскостей . Величину удобно вычислять как расстояние от точки (000) до ближайшей к ней плоскости (см. рис. 1.5). В кристаллах с кубической ячейкой индексы Миллера плоскости совпадают с координатами направления вектора нормали к ней, в случае других ячеек это как правило не так.
Рис.1.5
Рис. 1.5.
Геометрический смысл индексов Миллера плоскости в кристалле.
Рис.1.6
Рис. 1.6.
Некоторые кристаллографические плоскости кубической решетки.
     Рассмотрим наиболее часто встречающиеся структуры.
     Гранецентрированная кубическая решетка характеризуется ячейкой изображенной на рис. 1.7. Узлы расположены по углам куба и по центрам его граней. Всего в ячейке получается 4 узла (8 восьмушек и 6 половинок). Видно, что каждый атом в ней имеет 12 ближайших соседей на расстоянии . Такую решетку имеют многие металлы (железо, кобальт, медь и многие другие), их атомы расположены в узлах рассмотренной решетки. Заметим, что, строго говоря, базис ГЦК решетки Браве (рис. 1.3) состоит из одного атома, хотя чаще выбирают ячейку в виде куба, как это сделано выше, и рассматривают базис из 4 атомов. Как увидим ниже, многие структуры как бы состоят из нескольких смещенных относительно друг друга ГЦК решеток.
Рис.1.7
Рис. 1.7.
Элементарная ячейка ГЦК решетки.
     Структура типа. (рис. 1.8) может быть представлена как решетка ГЦК с атомами натрия по узлам и атомами хлора, смещенными относительно них на 1/2 пространственной диагонали. Базисом ГЦК решетки Браве в таком случае будут два атома: натрия с координатами и хлора с координатами . Чаще за элементарную ячейку берут куб с базисом из 8 атомов, содержащий 4 атома натрия и 4 атома хлора с координатами:
     : 0 0 0; 1/2 1/2 0; 1/2 0 1/2; 0 1/2 1/2;
     : 0 0 1/2; 0 1/2 0; 1/2 0 0; 1/2 1/2 1/2.
     Такую структуру, имеют многие кристаллы ( и др.), отличающиеся лишь периодом решетки .
Рис.1.8
Рис. 1.8.
Элементарная ячейка NaCl
     Структура алмаза (рис. 1.9) может быть представлена как решетка ГЦК с атомами по узлам и смещенными относительно них на 1/4 пространственной диагонали. Базисом такой ГЦК решетки Браве будут два атома: с координатами и . Часто за элементарную ячейку алмаза выбирают куб с базисом из 8 атомов с координатами:
     для четырех атомов несмещенной ГЦК решетки:
     0 0 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0
     для четырех атомов смещенной ГЦК решетки:
     1/4 1/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 1/4 3/4; 3/4 3/4 1/4.
Рис.1.9
Рис. 1.9.
Элементарная ячейка алмаза (и светлые и темные шарики - атомы углерода) и сульфида цинка (темные шарики - атомы серы, светлые шарики - атомы цинка).
     Можно показать, что каждый атом углерода окружен четырьмя ближайшими соседями на расстоянии 1/4 длины пространственной диагонали, расположенными относительно него как углы правильного тетраэдра относительно его центра (см. задачу 1.2), с ними он соединен ковалентными связями, образующими равные углы друг с другом (см. след. раздел). Помимо углерода (алмаза) такую структуру имеют четырехвалентные полупроводники кремний и германий.
     Структура типа сульфида цинка (кубическая модификация) получается из описанной выше структуры алмаза если атомы цинка поместить в "несмещенную решетку", а атомы серы - в "смещенную". В такой структуре каждый атом одного сорта (серы, например) находится рядом с четырьмя ближайшими соседями - атомами другого сорта (атомы цинка), с которыми он соединен ковалентными связями, образующими равные углы друг с другом.
     Гексагональная структура изображена на рис. 1.4. Удобно изображать три элементарные ячейки, тогда структура напоминает слоистые пчелиные соты. Многие вещества обладают такой структурой, в которой группы атомов образуют в пространстве правильные шестиугольники. Часто встречается разновидность этой структуры: гексагональная с плотной упаковкой (ГПУ). Ее можно представить слоями (см. рис.1.4 б): первый слой (А) - атомы-шары, расположенные плотно шестигранниками по узлам нижней плоскости. Атомы второго слоя (В) располагаются по центрам трех "ячеек" в "ямках" между атомами нижнего слоя, касаясь их. Атомы третьего слоя располагаются как на рис.1.4 над атомами первого слоя и в ямках между атомами второго слоя. Наблюдается периодичность укладки слоев в направлении вектора с периодом : В итоге получается плотноупакованная структура шаров, в которой у каждого шара имеется по 12 ближайших соседей на расстоянии равном двум радиусам шаров. Можно вычислить, что в такой структуре отношение . Многие металлы имеют такую структуру, правда с несколько отличающимся отношением , равным, к примеру 1,622 для , 1623 для , 1,586 для .
     Заметим, что существует еще один способ укладки шаров: два первых слоя укладываются как и прежде, а третий укладывают в другие ямки, так, что атомы третьего слоя окажутся в местах, отмеченных на рис. 1.4 крестиками. Четвертый слой укладывают как первый, пятый как второй и так далее. Наблюдается периодичность укладки слоев в направлении вектора с периодом : Получается еще один способ плотной укладки шаров с числом ближайших соседей равным 12. Можно показать, что такая структура соответствует рассмотренной выше ГЦК решетке (см. рис. 1.7), направление [111] которой совпадает с направлением вектора на рис. 1.4.
     Рассмотренные ГПУ и ГЦК структуры очень похожи, отличаются они лишь чередованием слоев плотноупакованных атомов, энергии их образования должны быть почти одинаковыми. Поэтому многие металлы имеют при слегка меняющихся условиях (например, при разных температурах) ГПУ и ГЦК решетки. Например, неодим имеет при низких температурах решетку ГЦК, а при высоких - ГПУ.
     Некоторые металлы и сплавы имеют дефекты упаковки рассмотренных выше слоев атомов (см. рис. 1.4), когда слои укладываются с нарушением их порядка, например В результате решетку нельзя строго говоря считать ни как ГПУ, ни как ГЦК.
     Многие вещества имеют при разных условиях (например, температуре, давлении) разные кристаллические решетки. Так железо при комнатной температуре имеет решетку ОЦК, при температурах 910-1400 0С - ГЦК, а при еще более высоких температурах - опять ОЦК. Часто две решетки сосуществуют в одном куске вещества: одна как равновесная, а другая - как метастабильная, не успевшая переформироваться в равновесную. Такая ситуация наблюдается, например, в сталях (сплавах Fe-C) после их закалки: выдержке при температуре существования ГЦК решетки и быстрого охлаждения до комнатной температуры, когда стабильной оказывается ОЦК решетка. После закалки получается сложная система областей вещества с ОЦК и ГЦК решетками. Форма и расположение этих областей вещества с разными решетками определяет многие свойства материала.


К физическим свойствам твердых тел относятся механические, тепловые, электрические, магнитные и оптические свойства. Их изучают, наблюдая, как ведет себя образец при изменении температуры, давления или объема, в условиях механических напряжений, электрических и магнитных полей, температурных градиентов
Математика Примеры решения задач физика