Динамика вращательного движения Динамика материальной точки и тела Механические колебания Волны в упругой среде. Акустика Молекулярное строение вещества Молекулярно-кинетическая теория газов Строение атома и молекул

Описание структуры кристаллов

 

     Задачи к разделу 1.1.
     Задача 1.1. Показать, что в качестве примитивной элементарной ячейки ОЦК решетки можно выбрать тригональную ячейку, построенную на векторах , для чего необходимо найти длины ее ребер и углы между ними. Показать, что объем этой примитивной ячейки равен половине объема соответствующей ячейки ОЦК решетки.
     Решение. Выберем оси координат вдоль ребер куба, а за единицу измерения длины по осям выберем длину ребра куба .
     В такой системе координат длина вектора вычисляется по формуле:
     Косинус угла между векторами и найдем по формуле
     Объем выбранной элементарной ячейки - параллелепипеда, построенного на векторах, можно найти как смешанное произведение этих векторов, как определитель, строками которого являются координаты этих трех векторов:
     Объем ячейки равен половине объема ОЦК ячейки, которая содержала 2 атома. Выбранную ячейку можно считать примитивной.
     Заметим, что применение простых известных формул аналитической геометрии справедливо, если система координат, в которой проводятся расчеты - прямоугольная и ее орты имеют одинаковую длину. Такой системой может служить использованная в задаче система координат.
     Аналогичным способом можно показать, что в качестве примитивной элементарной ячейки ГЦК решетки можно выбрать тригональную ячейку с объемом в 4 раза меньшей, чем кубическая, построенную на векторах (см. рис. 8).
     Задача 1.2. Показать, что в кристаллической решетке алмаза (рис. 9) каждый атом с координатами 1/4, 1/4, 1/4 (а можно показать, что и каждый атом) окружен четырьмя ближайшими соседями и что ковалентные связи с ними образуют равные углы.
     Решение. Ближайшие соседи выбранного атома с координатами 1/4 1/4 1/4 имеют координаты 0 0 0; 1/2 1/2 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2 в случае выбора векторов на трех ребрах куба длины . Расстояние от выбранного атома до этих атомов вычисляется по формуле аналитической геометрии
     и окажется равным для всех ближайших соседей.
     Чтобы найти угол между ковалентными связями сначала найдем координаты векторов с началом в центре выделенного атома и концами в центрах ближайших соседей с номером , а затем найдем по формуле
     Замечание. Такие простые формулы вычисления расстояний и углов справедливы только для кубической элементарной ячейки, поскольку только для нее векторы основных трансляций перпендикулярны друг другу и имеют равные длины (что предполагается в аналитической геометрии!). В случае некубических элементарных ячеек формулы расчета сильно усложняются [10].


К физическим свойствам твердых тел относятся механические, тепловые, электрические, магнитные и оптические свойства. Их изучают, наблюдая, как ведет себя образец при изменении температуры, давления или объема, в условиях механических напряжений, электрических и магнитных полей, температурных градиентов
Математика Примеры решения задач физика