Применение интегралов при вычислении площадей в полярных координатах

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Графики функций
Квадратный трёхчлен
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Бином Ньютона
Использование внешних
данных
Создание форм для
ввода данных
Создание и печать отчетов
Математика школьный курс
Векторная алгебра
Физика
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эффект
Рентгеновское излучение
Радиоактивность
Ядерные реакции
Графика
Машиностроительное черчение
Начертательная геометрия
Дизайн в промышленности
Иконопись
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
Сопротивление материалов
Расчетные нагрузки
Понятие о напряжениях и деформациях
Основные понятия теории надежности
Расчеты на прочность
Расчет сварных соединений.
Расчет валов
Заклепочные соединения
Расчет гибких нитей
Усталостная прочность
Основы вибропрочности конструкций
Расчет быстровращающегося диска
Расчет электротехнических цепей
Законы Ома и Кирхгофа для цепей постоянного тока
Расчет трехфазной цепи переменного тока
Трехфазный асинхронный двигатель
Электротехника и электроника
Ферромагнитные материалы
Однофазные выпрямители
Модернизация компьютера

Пример . Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .

Пример. Найти площадь  фигуры, лежащей вне круга  и огра­ниченной  кривой 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и 

Пример. Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

Пример. Найти площадь петли декартова листа . [an error occurred while processing this directive]

 Подпись:  

                   Рис.3.5
             

Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным фор­мулам   , .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или

01 12

. Из этого уравнения вытекает, во-первых, что  при  и при  и, во-вторых,  при и . Последнее означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой  можно найти обычным обра­зом в декартовых координатах.Следовательно, петля декартова ли­ста описывается при изменении   от 0 до  и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом, искомая площадь равна . Пользуясь симметрией кривой от­носительно биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины петли (от  до ) и затем удвоить ее. [an error occurred while processing this directive]

Это позволит воспользоваться заменой 

  01
, ,  что дает. Новая замена, приводит к интегралу.

 

Математика Примеры решения задач физика