Основы специальной теории относительности и релятивистская механика Билеты к экзамену Прикладная математика и физика Электромагнитное и электростатическое поле Физика твердого тела Основы квантовой механики Релятивисткая механика
Вал в виде сплошного цилиндра массой m1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2=2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,
и связано с угловым ускорением s вала соотношением
а=, (1)
где r — радиус вала.
Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
=M/J,
(2)
|
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен
J=1/2m1r2.
Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.
Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m2g, направленная вниз, и сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m2g-T=m2a, откуда T=m2(g-а). Таким образом, вращающий момент M=m2(g—а)r.
Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:
Для определения линейного ускорения гири подставим это
рис. 3.3
выражение в формулу (1). Получим
,
откуда
Математика
Примеры решения задач физика