Функции нескольких переменных

Функции двух переменных, их график, непрерывность

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R²={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R², а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y) О D(z).

Приведем примеры функций двух переменных, заданных аналитически.

Пример 1. z = -2x+3y+6, D(z)=R².

Здесь каждой паре действительных чисел (x₀, y₀) соответствует одно и только одно действительное число

z₀ = -2x₀,+ 3y₀+6.

Например, z(0;0) = 2· 0 - 3· 0 + 6 =6; z(-1; 2) = -2(-1) + 3· 2 +6 = 14; [an error occurred while processing this directive]

z(4,1) = -2· 4 + 3· 1 + 6 = 1 и т.д.

Пример 2. z = x² + y², D(z) = R².

Очевидно, z(0; 0) = 0; z(-2; 3) = 13, z(1; 4) = 17 и т.д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (х; y)О D(z), называется областью значений этой функции. Область значений функции z=f(х;y) принято обозначать Е(z). Так, в примере 1 Е(z)=R, а в примере 2 E(z)=[0;+Ґ ].

Функция считается заданной, если указаны множества D(z)М R², E(z)М R и соответствие f. Причем соответствие f может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т.д.).