Вычисление потенциальной энергии Теорема Кастильяно. Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Способ сравнения деформаций. Расчет гибких нитей Усталостная прочность Основные характеристики цикла и предел усталости

Сопротивление материалов Усталостная прочность

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естес­вознания, исследование вопроса о прочности или жесткости ре­ального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции - его упрощенная схема, освобожденная от не­существенных в данной задаче особенностей. Выбор расчетной схемы начинается со схематизации свойств материалов сооружения. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры.

Теорема Кастильяно.

Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.

Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силы , )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.

Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим ,, ,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .

Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка (Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергии нагрузок целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения в положение II:

Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , , ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений и :

Работа при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

При вычислении работы учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

Кручение бруса с некруглым поперечным сечением Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным сечением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипо­теза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.
Подбор сечений балок равного сопротивления